三相永磁同步電機(jī)之有限元法的基本原理

有限元法的基本思想是：首先將偏微分方程的邊值問(wèn)題等價(jià)為條件變分問(wèn)題；再利用合適的單元類型對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行剖分，在單元上構(gòu)造相應(yīng)的插值函數(shù)，對(duì)各個(gè)單元進(jìn)行單元分析，得到各單元內(nèi)能量的表達(dá)式和單元能量對(duì)3個(gè)節(jié)點(diǎn)磁位的導(dǎo)數(shù)；然后對(duì)所有單元的分析結(jié)果進(jìn)行總體合成，將能量泛函的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多元能量函數(shù)的極值問(wèn)題，建立以各節(jié)點(diǎn)磁位為變量的代數(shù)方程組，并按第一類邊界條件進(jìn)行修正；最后求解該方程組，得到各節(jié)點(diǎn)的磁位，進(jìn)而得到相應(yīng)的磁場(chǎng)量。

下面以二維恒定磁場(chǎng)為例說(shuō)明有限元法求解磁場(chǎng)問(wèn)題的基本原理。

一、條件變分問(wèn)題

根據(jù)變分原理，可將偏微分方程的邊值間題等價(jià)為條件變分問(wèn)題，即能量泛函的極值問(wèn)題。與式（4一17）對(duì)應(yīng)的條件變分問(wèn)題為。偏微分方程的邊值問(wèn)題等價(jià)為條件變分問(wèn)題后，邊界條件發(fā)生了變化，第一類邊界條件仍作為附加條件列出，稱為強(qiáng)加邊界條件；第二類邊界條件體現(xiàn)為一項(xiàng)線積分，自動(dòng)滿足，稱為自然邊界條件；求解區(qū)域內(nèi)部媒質(zhì)分界線上的邊界條件也由能量泛函求極值自動(dòng)滿足，也是自然邊界條件。自然邊界條件不再在條件變分中列出。

二、剖分插值

剖分就是利用合適的單元類型將求解區(qū)域劃分為有限個(gè)單元。在求解二維場(chǎng)時(shí)，普遍采用三節(jié)點(diǎn)三角形單元，將三角形的3個(gè)頂點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)，雖然精度稍差，但能滿足一般工程問(wèn)題的需要。有限元計(jì)算的精度取決于剖分的合理性和疏密程度，在進(jìn)行剖分時(shí)，需注意以下問(wèn)題：

( l）三角形單元不可重疊。

( 2）對(duì)于邊界或內(nèi)部交界面上的三角形，只能有一條邊在邊界上。

( 3）當(dāng)邊界或內(nèi)部交界面為曲線時(shí)，用相應(yīng)的折線段近似代替曲線段。

( 4）任意一個(gè)三角形的頂點(diǎn)必須同時(shí)是其相鄰三角形的頂點(diǎn)。

( 5）若邊界上有不同的邊界條件，它們的交界點(diǎn)應(yīng)是三角形的頂點(diǎn)。

( 6）一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)度不要懸殊太大，盡量為銳角三角形。

( 7）在場(chǎng)梯度較大的地方，剖分得細(xì)密些；而在場(chǎng)梯度較小的地方，剖分得稀疏些。

圖4一3為一個(gè)三角形單元，三角形3個(gè)頂點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）逆時(shí)針?lè)较蚓幪?hào)。在三角形單元內(nèi)部，任一點(diǎn)的磁位A二可以通過(guò)以下的線性插值函數(shù)得到。

三、單元分析

對(duì)求解區(qū)域內(nèi)的每一個(gè)單元，分別計(jì)算其能量函數(shù)對(duì)3個(gè)節(jié)點(diǎn)磁位的一階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)該單元的所有邊都不在第二類邊界上時(shí)，其能量泛函只有重積分，沒(méi)有線積分。將式（4一24 )代入式（4一18 )，并求能量泛函對(duì)3個(gè)節(jié)點(diǎn)磁位的導(dǎo)數(shù)，得。

四、總體合成

建立一個(gè)nxn的系數(shù)矩陣［月和一個(gè)n行的矩陣｛P }，其中n為求解區(qū)域的總節(jié)點(diǎn)數(shù)，將其所有的元素清零，然后將各單元系數(shù)矩陣和向量的各元素分別按其下標(biāo)的地址疊加到系數(shù)矩陣，得到。

五、強(qiáng)加邊界條件的處理

考慮到強(qiáng)加邊界條件，需要對(duì)式（4一31）進(jìn)行修改。設(shè)第k ‘個(gè)節(jié)點(diǎn)為第一類邊界條件上的節(jié)點(diǎn)，其磁位已知為A解。，則式（4一31）中第澎個(gè)方程變?yōu)椋瑫r(shí)其他方程變?yōu)椤?/p>

六、方程組求解

求解式（4一33 )，即可得到求解區(qū)域內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的磁位，進(jìn)而根據(jù)式（4一24）得到相應(yīng)的場(chǎng)量。